दोन संख्यांची बेरीज १४ आहे आणि त्या संख्यांच्या वर्गांची बेरीज ११६ असल्यास त्यांपैकी मोठी संख्या कोणती?
EN
The sum of two numbers is 14 and the sum of their squares is 116. What is the larger of the two numbers?
या प्रश्नाचे अचूक उत्तर पर्याय (२) - १० आहे.
📐 वापरलेले सूत्र (Formula Used):
•
बैजिक नित्यसमीकरण (Algebraic Identity):
$$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$$
$$(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$$
### सविस्तर पायऱ्या:
१.
दोन संख्या '$a$' आणि '$b$' मानू ($a > b$).
२.
दिलेली माहिती:
$$a + b = 14$$
$$a^2 + b^2 = 116$$
३.
गुणाकार ($ab$) शोधणे:
$$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$$
$$14^2 = 116 + 2ab$$
$$196 = 116 + 2ab$$
$$2ab = 196 - 116 = 80 \implies ab = 40$$
४.
फरक ($a - b$) शोधणे:
$$(a - b)^2 = (a^2 + b^2) - 2ab$$
$$(a - b)^2 = 116 - 80 = 36$$
$$a - b = \sqrt{36} = 6$$
५.
मोठी संख्या ($a$) काढणे:
$$a = \frac{(a + b) + (a - b)}{2} = \frac{14 + 6}{2} = \frac{20}{2} = 10$$
*(लहान संख्या $b = 14 - 10 = 4$)*
म्हणून, मोठी संख्या १० आहे.
MPSC परीक्षा टीप
परीक्षेसाठी महत्त्वपूर्ण संकल्पना व शॉर्टकट
•
पर्यायांवरून ताळा करा: जर मोठी संख्या १० असेल, तर लहान संख्या $14 - 10 = 4$. वर्गांची बेरीज $= 10^2 + 4^2 = 100 + 16 = 116$. अवघ्या ५ सेकंदात खात्री पटते.
translate
English Explanation / स्पष्टीकरण:
The correct answer is Option (2) - 10.
📐 Formula Used:
•
Algebraic Identities:
$$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$$
$$(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$$
### Step-by-Step Explanation:
1.
Let the two numbers be '$a$' and '$b$' with $a > b$.
2.
Given:
•
$a + b = 14$
•
$a^2 + b^2 = 116$
3.
Find product $ab$:
$$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$$
$$14^2 = 116 + 2ab$$
$$196 - 116 = 2ab \implies 2ab = 80 \implies ab = 40$$
4.
Find difference $(a - b)$:
$$(a - b)^2 = 116 - 80 = 36 \implies a - b = 6$$
5.
Calculate the larger number $a$:
$$a = \frac{(a + b) + (a - b)}{2} = \frac{14 + 6}{2} = 10$$
*(Smaller number $b = 4$)*
Thus, the larger number is 10.
MPSC EXAM TIP
High-Yield Exam Strategy Tip
•
Test options directly: If larger is 10, other is $14 - 10 = 4$. Check $10^2 + 4^2 = 100 + 16 = 116$. Instant confirmation without solving equations.