वाऱ्यामुळे एक 21 मीटर उंच वृक्ष त्याचे बुंध्यापासून x मिटर अंतरावरून अश्याप्रकारे तुटतो की त्याचे टोक जमिनीसोबत झाडापासून 7√3 मीटर अंतरावर टेकल्यामुळे जमीनीसोबत एक विशिष्ट कोन बनवतो. तर झाडाची x उंची काढा.
EN
Due to wind, a 21-meter high tree breaks at a height of x meters from its base in such a way that its top touches the ground at a distance of 7√3 meters from the base of the tree, making a certain angle with the ground. Find the height x.
स्पष्टीकरण:
दिलेली माहिती:
•
झाडाची एकूण मूळ उंची $= 21$ मीटर.
•
झाड जमिनीपासून $x$ मीटर उंचीवरून तुटते $\implies$ उभा राहिलेला भाग $= x$ मीटर.
•
तुटलेला भाग (जो जमिनीकडे झुकून कर्ण बनतो) $= (21 - x)$ मीटर.
•
झाडाचे टोक बुंध्यापासून $7\sqrt{3}$ मीटर अंतरावर जमिनीला टेकते $\implies$ पाया $= 7\sqrt{3}$ मीटर.
काटकोन त्रिकोणात पायथागोरसचा सिद्धांत वापरू:
$$(\text{पाया})^2 + (\text{उंची})^2 = (\text{कर्ण})^2$$
$$(7\sqrt{3})^2 + x^2 = (21 - x)^2$$
$$(49 \times 3) + x^2 = 441 - 42x + x^2$$
$$147 + x^2 = 441 - 42x + x^2$$
दोन्ही बाजूंचे $x^2$ लोप पावेल:
$$147 = 441 - 42x$$
$$42x = 441 - 147$$
$$42x = 294$$
$$x = \frac{294}{42} = 7 \text{ मीटर}$$
म्हणून झाड बुंध्यापासून 7 मीटर उंचीवरून तुटले.
योग्य उत्तर पर्याय (3) आहे.
MPSC परीक्षा टीप
परीक्षेसाठी महत्त्वपूर्ण संकल्पना व शॉर्टकट
तुटलेल्या झाडाच्या गणितात: $x^2 + d^2 = (H - x)^2 \implies d^2 = H^2 - 2Hx \implies x = \frac{H^2 - d^2}{2H}$. येथे $x = \frac{21^2 - (7\sqrt{3})^2}{2(21)} = \frac{441 - 147}{42} = \frac{294}{42} = 7$ मीटर थेट मिळते.
translate
English Explanation / स्पष्टीकरण:
Explanation:
Given data:
•
Total original height of the tree $= 21$ m.
•
Tree breaks at height $x$ from the base $\implies$ vertical height $= x$.
•
Broken portion acting as hypotenuse $= 21 - x$.
•
Top touches the ground at base distance $= 7\sqrt{3}$ m.
Applying Pythagoras Theorem:
$$x^2 + (7\sqrt{3})^2 = (21 - x)^2$$
$$x^2 + 147 = 441 - 42x + x^2$$
$$147 = 441 - 42x \implies 42x = 294 \implies x = 7 \text{ meters}$$
The correct answer is Option (3).
MPSC EXAM TIP
High-Yield Exam Strategy Tip
Direct formula for broken tree problems: $x = \frac{H^2 - d^2}{2H} = \frac{441 - 147}{42} = \frac{294}{42} = 7$ m.