खालील अपूर्णांकांचा ल.सा.वि. (लघुत्तम सामाईक विभाज्य) किती असेल? $$\frac{३}{५},\ \frac{४}{७},\ \frac{६}{११},\ \frac{८}{१३}$$
EN
Find the LCM (Least Common Multiple) of the following fractions:
$$\frac{3}{5},\ \frac{4}{7},\ \frac{6}{11},\ \frac{8}{13}$$
अपूर्णांकांच्या ल.सा.वि.ची पायरीनिहाय सोडवणूक:
📐 वापरलेले सूत्र (Formula Used):
$$\text{अपूर्णांकांचा ल.सा.वि. (LCM of Fractions)} = \frac{\text{अंशांचा ल.सा.वि. (LCM of Numerators)}}{\text{छेदांचा म.सा.वि. (HCF of Denominators)}}$$
तपशीलवार उकल:
१.
अंशांचा ल.सा.वि. काढणे:
•
अंश: ३, ४, ६, ८
•
अवयव:
•
$३ = ३^१$
•
$४ = २^२$
•
$६ = २^१ \times ३^१$
•
$८ = २^३$
•
सर्वोच्च घातांक: $२^३ \times ३^१ = ८ \times ३ = \mathbf{२४}$
•
म्हणून अंशांचा ल.सा.वि. $= २४$.
२.
छेदांचा म.सा.वि. काढणे:
•
छेद: ५, ७, ११, १३
•
५, ७, ११, आणि १३ या सर्व मूळ (Prime) संख्या आहेत.
•
कोणत्याही दोन किंवा अधिक मूळ संख्यांमध्ये १ व्यतिरिक्त कोणताही सामाईक अवयव नसतो.
•
म्हणून छेदांचा म.सा.वि. $= \mathbf{१}$.
३.
अपूर्णांकांचा ल.सा.वि.:
$$\text{ल.सा.वि.} = \frac{२४}{१} = \mathbf{२४}$$
अतएव, पर्याय क्र. ३ हे अचूक उत्तर आहे.
MPSC परीक्षा टीप
परीक्षेसाठी महत्त्वपूर्ण संकल्पना व शॉर्टकट
•
अपूर्णांकांचा ल.सा.वि. $= \frac{\text{अंशांचा ल.सा.वि.}}{\text{छेदांचा म.सा.वि.}}$
•
अपूर्णांकांचा म.सा.वि. $= \frac{\text{अंशांचा म.सा.वि.}}{\text{छेदांचा ल.सा.वि.}}$
नेहमी लक्षात ठेवा: जे विचारले आहे (ल.सा.वि. किंवा म.सा.वि.), ते अंशावर काढायचे असते आणि विरुद्ध क्रिया छेदावर करायची असते.
translate
English Explanation / स्पष्टीकरण:
Step-by-Step Solution for LCM of Fractions:
📐 Formula Used:
$$\text{LCM of Fractions} = \frac{\text{LCM of Numerators}}{\text{HCF of Denominators}}$$
Detailed Calculation:
1.
LCM of Numerators (3, 4, 6, 8):
•
Prime factorization:
•
$3 = 3^1$
•
$4 = 2^2$
•
$6 = 2^1 \times 3^1$
•
$8 = 2^3$
•
Highest powers of prime factors: $2^3 \times 3^1 = 8 \times 3 = \mathbf{24}$.
•
$\text{LCM}(3, 4, 6, 8) = 24$.
2.
HCF of Denominators (5, 7, 11, 13):
•
The denominators are distinct prime numbers.
•
Since prime numbers share no common divisor other than 1:
•
$\text{HCF}(5, 7, 11, 13) = \mathbf{1}$.
3.
Computing Final LCM:
$$\text{LCM} = \frac{24}{1} = \mathbf{24}$$
Therefore, Option 3 is the correct answer.
MPSC EXAM TIP
High-Yield Exam Strategy Tip
•
$\text{LCM of Fractions} = \frac{\text{LCM of Numerators}}{\text{HCF of Denominators}}$
•
$\text{HCF of Fractions} = \frac{\text{HCF of Numerators}}{\text{LCM of Denominators}}$
Rule of thumb: What is asked (LCM/HCF) goes to the numerator; the opposite goes to the denominator.