जर ‘\(\alpha\)’ आणि ‘\(\beta\)’ ही \(2x^2 - 14x + p = 0\) या समीकरणाची मुळे असतील आणि \(\alpha - \beta = 3\) असेल, तर ‘\(p\)’ चे मूल्य शोधा.
📐 वापरलेले सूत्र (Formula Used):
स्पष्टीकरण:
दिलेले समीकरण: \(2x^2 - 14x + p = 0\)
येथे \(a = 2, b = -14, c = p\)
\(\alpha + \beta = -\frac{-14}{2} = 7\)
\(\alpha\beta = \frac{p}{2}\)
दिलेले आहे: \(\alpha - \beta = 3\)
नित्यसमीकरणात किमती भरू:
\((\alpha + \beta)^2 - (\alpha - \beta)^2 = 4\alpha\beta\)
\(7^2 - 3^2 = 4 \times \frac{p}{2}\)
\(49 - 9 = 2p\)
\(40 = 2p\)
\(p = \frac{40}{2} = 20\)
म्हणून, ‘\(p\)’ चे मूल्य 20 आहे.
\((A+B)^2 - (A-B)^2 = 4AB\) हे सूत्र मुळांमधील फरक आणि गुणाकार जोडण्यासाठी अत्यंत उपयुक्त ठरते.
📐 Formula Used:
Step-by-step Explanation:
Given equation: \(2x^2 - 14x + p = 0\)
Here \(a = 2, b = -14, c = p\).
Sum of roots: \(\alpha + \beta = \frac{14}{2} = 7\)
Product of roots: \(\alpha\beta = \frac{p}{2}\)
Given difference: \(\alpha - \beta = 3\)
Using identity:
\((\alpha + \beta)^2 - (\alpha - \beta)^2 = 4\alpha\beta\)
\(7^2 - 3^2 = 4 \left(\frac{p}{2}\right)\)
\(49 - 9 = 2p\)
\(40 = 2p\)
\(p = 20\)
Thus, the value of \(p\) is 20.
The algebraic identity \((A+B)^2 - (A-B)^2 = 4AB\) eliminates individual root solving when finding an unknown coefficient.