केप्लरचा ग्रहांच्या गतीचा दुसरा नियम ('क्षेत्रफळाचा नियम' - Law of Areas) हा आधुनिक भौतिकशास्त्रातील खालीलपैकी कोणत्या मूलभूत संवर्धन नियमाचा (Conservation Law) थेट परिणाम आहे?
EN
Kepler's Second Law of planetary motion ('Law of Areas') is a direct consequence of which foundational conservation law in physics?
योग्य उत्तर पर्याय (३) कोणीय संवेग संवर्धन नियम (Conservation of Angular Momentum) आहे.
स्पष्टीकरण:
•
केप्लरचा दुसरा नियम (क्षेत्रफळाचा नियम): *"सूर्याला ग्रहाशी जोडणारी काल्पनिक रेषा समान कालावधीत समान क्षेत्रफळ व्यापते."* म्हणजेच ग्रहाचा क्षेत्रीय वेग (Areal Velocity, $\frac{dA}{dt}$) स्थिर असतो.
•
गणितीय सिद्धता:
$$\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m} = \text{स्थिरांक}$$
•
सूर्याचे ग्रहावर असणारे गुरुत्वाकर्षण बल हे केंद्रीय बल (Central Force) आहे, जे नेहमी सूर्याच्या दिशेने कार्य करते. त्यामुळे सूर्याच्या संदर्भात ग्रहावर प्रयुक्त होणारा बाह्य टॉर्क (बलाचे आघूर्ण, $\tau$) शून्य असतो:
$$\tau = \vec{r} \times \vec{F} = r F \sin(180^\circ) = 0$$
•
बाह्य टॉर्क शून्य असल्यामुळे ग्रहाचा कोणीय संवेग ($L = mvr$) स्थिर राहतो (संवर्धित होतो).
•
यामुळेच जेव्हा ग्रह सूर्याजवळ (Perihelion) येतो तेव्हा $r$ कमी झाल्याने त्याचा वेग ($v$) वाढतो, आणि जेव्हा ग्रह सूर्यापासून दूर (Aphelion) जातो तेव्हा त्याचा वेग मंदावतो.
इतर पर्यायांचे विश्लेषण (Distractor Analysis):
•
पर्याय २ (रेषीय संवेग): रेषीय संवेग ($p = mv$) स्थिर राहत नाही, कारण कक्षेदरम्यान ग्रहाचा रेषीय वेग सतत बदलत असतो.
•
पर्याय ४ (ऊर्जा संवर्धन): एकूण यांत्रिक ऊर्जा स्थिर असते, परंतु क्षेत्रफळाचा नियम हा प्रामुख्याने कोणीय संवेगाशी थेट संबंधित आहे.
MPSC परीक्षा टीप
परीक्षेसाठी महत्त्वपूर्ण संकल्पना व शॉर्टकट
वारंवार विचारला जाणारा प्रश्न: 'ग्रह सूर्याच्या सर्वात जवळ असताना त्याचा वेग कसा असतो?' ➔ सर्वाधिक (कमाल); आणि सूर्यापासून सर्वात लांब असताना त्याचा वेग सर्वात कमी (किमान) असतो. हे कोणीय संवेग संवर्धनामुळे घडते ($L = m v_1 r_1 = m v_2 r_2$).
translate
English Explanation / स्पष्टीकरण:
The correct answer is Option (3) Conservation of Angular Momentum.
Explanation:
•
Kepler's Second Law (Law of Equal Areas): *"The line segment joining a planet and the Sun sweeps out equal areas during equal intervals of time."* (Constant areal velocity $\frac{dA}{dt}$).
•
The gravitational attraction exerted by the Sun on the planet is a purely central force, acting along the line of centers. The net external torque ($\vec{\tau}$) about the Sun is strictly zero:
$$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = 0$$
•
By Newton's rotational dynamics ($\vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt}$), zero torque dictates that orbital Angular Momentum ($\vec{L} = \vec{r} \times m\vec{v}$) is strictly conserved.
•
The areal velocity is directly proportional to angular momentum: $\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m} = \text{constant}$.
•
Consequently, when the distance $r$ diminishes near perihelion, orbital speed $v$ increases; near aphelion, $v$ decreases.
Distractor Analysis:
•
Option 2 (Linear Momentum): Linear momentum continuously fluctuates because velocity direction and magnitude vary across the eccentric orbit.
•
Option 4 (Conservation of Energy): Mechanical energy is conserved, but the spatial areal sweeping law specifically maps to angular momentum conservation.
MPSC EXAM TIP
High-Yield Exam Strategy Tip
High-frequency MPSC question: A planet orbits fastest at perihelion (closest approach) and slowest at aphelion (farthest distance), precisely preserving constant angular momentum ($m v_p r_p = m v_a r_a$).