१५ संख्यांची सरासरी ६० आहे. जर पहिल्या ८ संख्यांची सरासरी ५५ असेल आणि शेवटच्या ८ संख्यांची सरासरी ६८ असेल, तर त्या मालिकेतील ८ वी संख्या खालीलपैकी कोणती असेल?
EN
The average of 15 numbers is 60. If the average of the first 8 numbers is 55 and the average of the last 8 numbers is 68, which of the following is the 8th number in the series?
ओव्हरलॅपिंग सरासरीची (Overlapping Average) सूत्रबद्ध सोडवणूक:
📐 वापरलेले सूत्र (Formula Used):
$$\text{मध्यवर्ती (८ वी) संख्या} = (\text{पहिल्या } k \text{ संख्यांची बेरीज} + \text{शेवटच्या } k \text{ संख्यांची बेरीज}) - \text{सर्व संख्यांची एकूण बेरीज}$$
तपशीलवार उकल:
१.
सर्व १५ संख्यांची एकूण बेरीज:
$$\text{एकूण बेरीज} = १५ \times ६० = ९००$$
२.
पहिल्या ८ संख्यांची बेरीज:
$$\text{बेरीज}_१ = ८ \times ५५ = ४४०$$
३.
शेवटच्या ८ संख्यांची बेरीज:
$$\text{बेरीज}_२ = ८ \times ६८ = ५४४$$
४.
८ व्या संख्येचे मूल्य:
•
पहिल्या ८ आणि शेवटच्या ८ संख्यांमध्ये ८ वी संख्या दोनदा मोजली गेली आहे:
$$\text{८ वी संख्या} = (४४० + ५४४) - ९००$$
$$\text{८ वी संख्या} = ९८४ - ९०० = \mathbf{८४}$$
अतएव, पर्याय क्र. ४ हे अचूक उत्तर आहे.
MPSC परीक्षा टीप
परीक्षेसाठी महत्त्वपूर्ण संकल्पना व शॉर्टकट
डेव्हिएशन (Deviation) पद्धत: $८ \times (-५) + ८ \times (+८) = -४० + ६४ = +२४$. मूळ सरासरीत मिळवा: $६० + २४ = ८४$! गणना ५ सेकंदात होते.
translate
English Explanation / स्पष्टीकरण:
Step-by-Step Mathematical Derivation:
📐 Formula Used:
$$\text{Middle (8th) Number} = (\text{Sum of first } k + \text{Sum of last } k) - \text{Total Sum of all } n$$
Detailed Solution:
1.
Total sum of all 15 numbers:
$$\text{Total Sum} = 15 \times 60 = 900$$
2.
Sum of first 8 numbers:
$$\text{Sum}_1 = 8 \times 55 = 440$$
3.
Sum of last 8 numbers:
$$\text{Sum}_2 = 8 \times 68 = 544$$
4.
Calculate 8th Number:
•
Since the 8th number is counted twice in both sets:
$$\text{8th Number} = (440 + 544) - 900 = 984 - 900 = \mathbf{84}$$
Therefore, Option 4 is the correct answer.
MPSC EXAM TIP
High-Yield Exam Strategy Tip
Net Deviation Method: $8 \times (55 - 60) + 8 \times (68 - 60) = 8(-5) + 8(+8) = +24$. $8\text{th number} = 60 + 24 = 84$!