दोन संख्या ३ : ५ या गुणोत्तरात आहेत. जर प्रत्येक संख्येतून ६ वजा केले, तर नवीन गुणोत्तर १ : २ होते. तर त्या दोन मूळ संख्यांचा गुणाकार किती असेल?
EN
Two numbers are in the ratio 3 : 5. If 6 is subtracted from each number, the new ratio becomes 1 : 2. What is the product of the two original numbers?
गुणोत्तर व संख्यांच्या गुणाकाराची सूत्रबद्ध सोडवणूक:
📐 वापरलेले सूत्र (Formula Used):
$$\frac{ax - k}{bx - k} = \frac{c}{d} \implies d(ax - k) = c(bx - k)$$
$$\text{गुणाकार} = (ax) \times (bx)$$
तपशीलवार उकल:
१.
समीकरण मांडणी:
•
मूळ संख्या $३x$ आणि $५x$ मानू.
$$\frac{३x - ६}{५x - ६} = \frac{१}{२}$$
२.
तिरकस गुणाकार करून $x$ काढणे:
$$२(३x - ६) = १(५x - ६)$$
$$६x - १२ = ५x - ६$$
$$६x - ५x = १२ - ६$$
$$x = ६$$
३.
मूळ संख्या शोधणे:
•
पहिली संख्या $= ३ \times ६ = १८$
•
दुसरी संख्या $= ५ \times ६ = ३०$
४.
दोन्ही संख्यांचा गुणाकार:
$$\text{गुणाकार} = १८ \times ३० = \mathbf{५४०}$$
५.
पडताळा:
•
$१८ - ६ = १२$, $३० - ६ = २४ \implies \frac{१२}{२४} = \frac{१}{२}$ (तंतोतंत बरोबर).
अतएव, पर्याय क्र. २ हे अचूक उत्तर आहे.
MPSC परीक्षा टीप
परीक्षेसाठी महत्त्वपूर्ण संकल्पना व शॉर्टकट
तिरकस गुणाकार क्लृप्ती: $x = \frac{६(२ - १)}{(२ \times ३) - (१ \times ५)} = \frac{६}{६ - ५} = ६$. थेट संख्या $= १८, ३० \implies १८ \times ३० = ५४०$.
translate
English Explanation / स्पष्टीकरण:
Step-by-Step Mathematical Derivation:
📐 Formula Used:
$$\frac{3x - k}{5x - k} = \frac{1}{2} \implies \text{Cross-multiplication to find } x$$
$$\text{Product} = 3x \times 5x = 15x^2$$
Detailed Solution:
1.
Form and solve equation:
$$\frac{3x - 6}{5x - 6} = \frac{1}{2}$$
$$2(3x - 6) = 5x - 6$$
$$6x - 12 = 5x - 6 \implies x = 6$$
2.
Compute Numbers and Product:
•
First number $= 3 \times 6 = 18$
•
Second number $= 5 \times 6 = 30$
$$\text{Product} = 18 \times 30 = \mathbf{540}$$
3.
Verification:
•
$(18 - 6) : (30 - 6) = 12 : 24 = 1 : 2$ (Verified).
Therefore, Option 2 is the correct answer.
MPSC EXAM TIP
High-Yield Exam Strategy Tip
Cross-difference shortcut: $x = \frac{6 \times (2-1)}{(2 \times 3) - (1 \times 5)} = 6$. Product $= 15 \times 6^2 = 15 \times 36 = 540$.