पुढील संख्यामालेत x च्या जागी कोणती संख्या असेल? 3, 7, 15, 31, x, 127, 255, 511
EN
Which number will replace x in the following number series?
3, 7, 15, 31, x, 127, 255, 511
योग्य उत्तर: पर्याय ४ (63)
सविस्तर पायरी-पायरी विश्लेषण:
दिलेली संख्या मालिका: $3, 7, 15, 31, x, 127, 255, 511$
पद्धत १: दुप्पट अधिक १ ($\times 2 + 1$):
•
$3 \times 2 + 1 = 7$
•
$7 \times 2 + 1 = 15$
•
$15 \times 2 + 1 = 31$
•
$31 \times 2 + 1 = \mathbf{63}$
•
$63 \times 2 + 1 = 127$
•
$127 \times 2 + 1 = 255$
•
$255 \times 2 + 1 = 511$
पद्धत २: २ चे घातांक वजा १ ($2^n - 1$):
•
$2^2 - 1 = 3$
•
$2^3 - 1 = 7$
•
$2^4 - 1 = 15$
•
$2^5 - 1 = 31$
•
$2^6 - 1 = 64 - 1 = \mathbf{63}$
•
$2^7 - 1 = 128 - 1 = 127$
म्हणून $x$ ची किंमत 63 आहे.
MPSC परीक्षा टीप
परीक्षेसाठी महत्त्वपूर्ण संकल्पना व शॉर्टकट
$2^n - 1$ ही मालिका 'मर्सेन संख्या' (Mersenne numbers) म्हणून ओळखली जाते. $3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511$ हा क्रम नेहमी ध्यानात ठेवावा.
translate
English Explanation / स्पष्टीकरण:
Correct Answer: Option 4 (63)
Step-by-Step Detailed Solution:
Given number series: $3, 7, 15, 31, x, 127, 255, 511$
Method 1: Linear Recurrence ($2T_n + 1$):
•
$3 \times 2 + 1 = 7$
•
$7 \times 2 + 1 = 15$
•
$15 \times 2 + 1 = 31$
•
$x = 31 \times 2 + 1 = \mathbf{63}$
•
$63 \times 2 + 1 = 127$
•
$127 \times 2 + 1 = 255$
•
$255 \times 2 + 1 = 511$
Method 2: Powers of 2 minus 1 ($2^k - 1$):
•
$2^2 - 1 = 3$
•
$2^3 - 1 = 7$
•
$2^4 - 1 = 15$
•
$2^5 - 1 = 31$
•
$2^6 - 1 = 64 - 1 = \mathbf{63}$
•
$2^7 - 1 = 128 - 1 = 127$.
Thus, $x = \mathbf{63}$.
MPSC EXAM TIP
High-Yield Exam Strategy Tip
Differences between terms double each step: $+4, +8, +16, +32, +64, +128, +256$. Adding 32 to 31 gives 63.