स्पष्टीकरण:
दिलेल्या सर्व संख्यांनी म्हणजेच 8, 9, 10, 11 ने भाग जाण्यासाठी त्या संख्येला त्यांच्या लसाविने (LCM) पूर्ण भाग गेला पाहिजे.
•
मूळ अवयव:
•
$8 = 2^3$
•
$9 = 3^2$
•
$10 = 2 \times 5$
•
$11 = 11$
•
$\text{LCM}(8, 9, 10, 11) = 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 11 = 8 \times 9 \times 5 \times 11 = 360 \times 11 = 3960$.
आता 47520 ची पडताळणी करू:
•
$47520 \div 3960 = 12$ (निःशेष भाग जातो).
•
कसोट्यांद्वारे पडताळा:
1.
10 ची कसोटी: एकक स्थानी 0 आहे $\implies$ भाग जातो.
2.
9 ची कसोटी: अंकांची बेरीज $= 4 + 7 + 5 + 2 + 0 = 18$, जी 9 ने विभाज्य आहे $\implies$ भाग जातो.
3.
8 ची कसोटी: शेवटचे तीन अंक $520$; $520 \div 8 = 65$ $\implies$ भाग जातो.
4.
11 ची कसोटी: विषम स्थानावरील अंकांची बेरीज $= 0 + 5 + 4 = 9$; सम स्थानावरील अंकांची बेरीज $= 2 + 7 = 9$. फरक $= 9 - 9 = 0$ $\implies$ भाग जातो.
इतर पर्यायांची पडताळणी:
•
56160 : 11 ची कसोटी: $(0+1+5) - (6+6) = 6 - 12 = -6$ (11 ने भाग जात नाही).
•
36960 : 9 ची कसोटी: अंकांची बेरीज $3+6+9+6+0 = 24$ (9 ने भाग जात नाही).
•
29700 : 8 ची कसोटी: शेवटचे तीन अंक $700$; $700 \div 8 = 87.5$ (8 ने भाग जात नाही).
म्हणून योग्य उत्तर पर्याय (4) आहे.
अशा प्रश्नांमध्ये लसावि काढण्याऐवजी 9 ची कसोटी (अंकांची बेरीज 9 च्या पटीत) आणि 11 ची कसोटी वापरून पर्याय बाद पद्धती (Elimination method) अवलंबल्यास अवघ्या 15 सेकंदांत अचूक उत्तर मिळते.
translate
English Explanation / स्पष्टीकरण:
Explanation:
For a number to be completely divisible by each of 8, 9, 10, and 11, it must be divisible by their Least Common Multiple (LCM).
•
Prime Factorization:
•
$8 = 2^3$
•
$9 = 3^2$
•
$10 = 2 \times 5$
•
$11 = 11$
•
$\text{LCM}(8, 9, 10, 11) = 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 11 = 8 \times 9 \times 5 \times 11 = 3960$.
Testing option 47520:
•
$47520 \div 3960 = 12$ (completely divisible).
•
Divisibility tests verification:
1.
Divisibility by 10: Units digit is 0.
2.
Divisibility by 9: Sum of digits $= 4 + 7 + 5 + 2 + 0 = 18$ (divisible by 9).
3.
Divisibility by 8: Last three digits are 520; $520 \div 8 = 65$ (divisible by 8).
4.
Divisibility by 11: Difference between alternating sums $= (4 + 5 + 0) - (7 + 2) = 9 - 9 = 0$ (divisible by 11).
Eliminating other options:
•
56160: Alternating sum difference is $-6$, not divisible by 11.
•
36960: Sum of digits is 24, not divisible by 9.
•
29700: Last 3 digits 700 are not divisible by 8.
Therefore, the correct answer is Option (4).
In divisibility questions with multiple divisors, check the divisibility tests of 9 (digital sum) and 11 first to quickly eliminate incorrect options within seconds.
