6 से.मी. बाजू असलेला घनाकार ठोकळा सर्व बाजूंनी लाल रंगात रंगविला तो व्यवस्थित कापून त्याचे प्रत्येकी 2 से.मी. बाजू असलेले घनाकृती ठोकळे बनवले, तर फक्त दोन बाजूंनी लाल रंग असलेले किती ठोकळे असतील ?
EN
A solid cube of 6 cm side is painted red on all sides. It is cut into small cubes each of side 2 cm. How many small cubes will have only two faces painted red?
स्पष्टीकरण:
दिलेल्या माहितीनुसार:
•
मोठ्या घनाची बाजू ($L$) $= 6$ से.मी.
•
कापून तयार केलेल्या लहान घनाची बाजू ($l$) $= 2$ से.मी.
•
प्रति बाजू लहान घनांक संख्या ($n$) $= \frac{L}{l} = \frac{6}{2} = 3$.
घनाचे गुणधर्म आणि सूत्रे:
1.
फक्त दोन बाजू रंगवलेले ठोकळे (Two faces painted):
हे लहान ठोकळे मूळ घनाच्या कडांवर (edges) असतात (कोपऱ्यांचे ठोकळे वगळून).
•
घनाला एकूण 12 कडा (edges) असतात.
•
सूत्र: $\text{दोन बाजू रंगवलेले ठोकळे} = 12 \times (n - 2)$
•
येथे $n = 3$:
$$\text{संख्या} = 12 \times (3 - 2) = 12 \times 1 = 12$$
इतर संबंधित माहिती (उजळणीसाठी):
•
3 बाजू रंगवलेले (कोपऱ्यावर): 8
•
1 बाजू रंगवलेले (पृष्ठावर): $6 \times (n-2)^2 = 6 \times 1^2 = 6$
•
एकही बाजू न रंगवलेले (आतले): $(n-2)^3 = 1^3 = 1$
•
एकूण ठोकळे: $n^3 = 3^3 = 27$ ($8 + 12 + 6 + 1 = 27$)
म्हणून फक्त दोन बाजूंनी लाल रंग असलेले 12 ठोकळे असतील.
योग्य उत्तर पर्याय (4) आहे.
MPSC परीक्षा टीप
परीक्षेसाठी महत्त्वपूर्ण संकल्पना व शॉर्टकट
घनाकृती ठोकळा कापण्याच्या प्रश्नांसाठी मानक सूत्रे पाठ ठेवा:
•
3 पृष्ठे रंगवलेले $= 8$ (नेहमी स्थिर)
•
2 पृष्ठे रंगवलेले $= 12(n - 2)$
•
1 पृष्ठ रंगवलेले $= 6(n - 2)^2$
•
0 पृष्ठ रंगवलेले $= (n - 2)^3$.
translate
English Explanation / स्पष्टीकरण:
Explanation:
Given data:
•
Side of the large cube ($L$) $= 6$ cm.
•
Side of each small cube ($l$) $= 2$ cm.
•
Number of divisions along each edge ($n$) $= \frac{L}{l} = \frac{6}{2} = 3$.
Cube Properties and Formulas:
1.
Cubes with only two faces painted:
These cubes are located along the edges of the original cube, excluding the corner cubes.
•
A cube has 12 edges.
•
Formula: $\text{Number of cubes with 2 faces painted} = 12 \times (n - 2)$
•
Substituting $n = 3$:
$$\text{Count} = 12 \times (3 - 2) = 12 \times 1 = 12$$
Reference breakdown for $n = 3$:
•
3 faces painted (corners) $= 8$
•
2 faces painted (edges) $= 12 \times 1 = 12$
•
1 face painted (centers) $= 6 \times 1^2 = 6$
•
0 faces painted (inner core) $= 1^3 = 1$
•
Total cubes $= 8 + 12 + 6 + 1 = 27$
Therefore, the number of cubes with only two faces painted red is 12.
The correct answer is Option (4).
MPSC EXAM TIP
High-Yield Exam Strategy Tip
Standard cube cutting formulas based on $n = \frac{\text{side of big cube}}{\text{side of small cube}}$:
•
Exactly 3 faces painted $= 8$ (always constant)
•
Exactly 2 faces painted $= 12(n - 2)$
•
Exactly 1 face painted $= 6(n - 2)^2$
•
No face painted $= (n - 2)^3$.