मणीने त्याचा मित्र नादिरला त्याच्या घरी भेटण्यासाठी स्वतःच्या घरापासून आश्नेय दिशेला 3 किमी गाडी चालवली. तेथून 5 किमी नैऋत्य दिशेने गाडी चालवून ते दोधे हेमूला त्याच्या घरी भेटले. तेथून ते तिघे मित्र 11 किमी ईशान्येला, 3 किमी वायव्येला आणि शेवटी 11 किमी नैऋत्येला गेले आणि तेथे ते थांबले. स्वतःच्या घराच्या सर्वात जवळ कोण आहे ?
स्पष्टीकरण:
प्रत्येकाच्या घराची स्थाने व अंतिम थांब्याचे स्थान सदिश (Vector) पद्धतीने मांडू:
सदिश $\vec{v}_1 = 3$ किमी SE.
नादिरचे घर $N = \vec{v}_1$.
सदिश $\vec{v}_2 = 5$ किमी SW.
हेमूचे घर $H = N + \vec{v}_2 = \vec{v}_1 + \vec{v}_2$.
यामुळे, 11 किमी NE आणि 11 किमी SW एकमेकांना निष्प्रभ करतात.
त्यामुळे हेमूच्या घरापासून निव्वळ विस्थापन फक्त 3 किमी वायव्य (NW) दिशेस होते.
म्हणजे अंतिम थांबा बिंदू $P$ हा हेमूच्या घरापासून ($H$) केवळ 3 किमी अंतरावर आहे!
आता प्रत्येकाच्या घरापासून अंतिम थांबा $P$ चे अंतर:
$P = H + (3\text{ km NW}) = (\vec{v}_1 + \vec{v}_2) - \vec{v}_1 = \vec{v}_2 = 5$ किमी.
$\sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{34} \approx 5.83$ किमी.
यावरून स्पष्ट होते की, अंतिम थांबा हा हेमूच्या घराच्या सर्वात जवळ (केवळ 3 किमी) आहे.
योग्य उत्तर पर्याय (2) आहे.
विरुद्ध दिशांची समान अंतरे (11 किमी NE आणि 11 किमी SW) एकमेकांना थेट रद्द करतात. यामुळे क्लिष्ट वाटणाऱ्या मोठ्या गणिताचे उत्तर केवळ एका साध्या वजाबाकीने (3 किमी) निघते.
Explanation:
Using vector analysis to determine the positions of homes and the final stopping point:
Vector $\vec{v}_1 = 3$ km SE $\implies N = \vec{v}_1$.
Vector $\vec{v}_2 = 5$ km SW $\implies H = N + \vec{v}_2 = \vec{v}_1 + \vec{v}_2$.
Notice that 11 km NE and 11 km SW are collinear and exactly opposite; thus, they completely cancel each other out ($11 - 11 = 0$).
Therefore, the net displacement from Hemu's house $H$ to the final stop $P$ is simply 3 km NW:
$P = H + (3\text{ km NW})$.
Comparing distances from each person's house to the final stop $P$:
Clearly, Hemu is closest to his own home (3 km).
The correct answer is Option (2).
Identify cancelling vectors early: equal displacements in opposite directions (11 km NE vs 11 km SW) sum to zero, immediately reducing multi-step movement to a single residual segment.