जर एका विशेष मुलाचा कायम समावेश करायचा असेल आणि दोन विशिष्ट मुलांना नेहमीच वगळायचे असेल तर प्रकल्पाचे काम करण्यासाठी 15 मुलांतून तीन मुलांची निवड करण्याच्या मार्गांची संख्या निवडा.
EN
Select the number of ways to choose three boys from 15 boys to work on a project if one particular boy is always to be included and two particular boys are always to be excluded.
स्पष्टीकरण:
दिलेले:
•
एकूण मुले = 15
•
निवडायची मुले = 3
•
अटी:
1.
एक विशेष मुलगा कायम निवडायचा आहे.
2.
दोन विशिष्ट मुलांना नेहमीच वगळायचे (exclude) आहे.
पायरीनिहाय विश्लेषण:
1.
1 विशेष मुलगा कायम निवडायचा असल्याने, तो आधीच संघात समाविष्ट झाला. आता आणखी फक्त $3 - 1 = 2$ मुले निवडायची बाकी आहेत.
2.
2 विशिष्ट मुलांना वगळायचे असल्यामुळे, त्यांचा निवडीसाठी विचार करता येणार नाही.
3.
त्यामुळे आता उपलब्ध मुलांची संख्या:
$$\text{उर्वरित मुले} = 15 - 1 (\text{समाविष्ट}) - 2 (\text{वगळलेले}) = 12 \text{ मुले}$$
4.
या 12 मुलांमधून 2 मुलांची निवड करण्याचे प्रकार संचयन सूत्राने:
$$^{12}C_2 = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = \frac{132}{2} = 66$$
म्हणून 15 मुलांतून अशा प्रकारे 3 मुले निवडण्याचे एकूण 66 मार्ग आहेत.
योग्य पर्याय: 4 (66)
MPSC परीक्षा टीप
परीक्षेसाठी महत्त्वपूर्ण संकल्पना व शॉर्टकट
समावेश (Inclusion) व वगळणे (Exclusion) नियम:
$n$ पैकी $r$ घटकांची निवड करताना, जर $p$ घटक अनिवार्य समाविष्ट करायचे असतील आणि $q$ घटक वगळायचे असतील, तर निवडीचे एकूण प्रकार $= ^{(n - p - q)}C_{(r - p)}$ होतात.
येथे: $^{(15 - 1 - 2)}C_{(3 - 1)} = ^{12}C_2 = 66$.
translate
English Explanation / स्पष्टीकरण:
Explanation:
Given:
•
Total boys = 15
•
Boys to be chosen = 3
•
Conditions:
1.
One particular boy is always included.
2.
Two particular boys are always excluded.
Step-by-step Analysis:
1.
Since 1 particular boy is always included, he is automatically in the group. We now only need to choose $3 - 1 = 2$ more boys.
2.
Since 2 particular boys are always excluded, they cannot be picked.
3.
Number of available boys to choose from:
$$\text{Available boys} = 15 - 1 (\text{included}) - 2 (\text{excluded}) = 12$$
4.
Number of ways to choose 2 boys from these remaining 12 boys:
$$^{12}C_2 = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66$$
Therefore, there are 66 ways to select the boys.
Correct Option: 4 (66)
MPSC EXAM TIP
High-Yield Exam Strategy Tip
Formula for restricted combinations: When $p$ particular items are always included and $q$ items are always excluded out of $n$ items to choose $r$:
$$\text{Ways} = ^{(n - p - q)}C_{(r - p)} = ^{(15 - 1 - 2)}C_{(3 - 1)} = ^{12}C_2 = 66$$.