स्पष्टीकरण:
परिमेय संख्या (Rational number) म्हणजे अशी संख्या जी $p/q$ स्वरूपात लिहिता येते, जिथे $p$ आणि $q$ हे पूर्णांक असून $q \neq 0$ असतो.
दिलेल्या पर्यायांची तपासणी करू:
1.
$1+\sqrt{5}$ : येथे $\sqrt{5}$ ही अपरिमेय संख्या असल्याने $1+\sqrt{5}$ ही सुद्धा अपरिमेय संख्या आहे.
2.
$\frac{5+\sqrt{3}}{5-\sqrt{3}}$ : छेदाचे परिमेयकरण केल्यास:
$$\frac{(5+\sqrt{3})(5+\sqrt{3})}{(5-\sqrt{3})(5+\sqrt{3})} = \frac{25 + 10\sqrt{3} + 3}{25 - 3} = \frac{28 + 10\sqrt{3}}{22} = \frac{14 + 5\sqrt{3}}{11}$$
यात $\sqrt{3}$ शिल्लक राहत असल्याने ही अपरिमेय संख्या आहे.
3.
$(\sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}})^2$ :
$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
$$(\sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}})^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \times \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2$$
$$= 2 + 2 + \frac{1}{2} = 4 + \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$$
$\frac{9}{2}$ ही दोन पूर्णांकांचे गुणोत्तर ($p/q$) असल्याने ही परिमेय संख्या आहे.
4.
$\pi$ : पाय ($\pi$) ही अखंड अनावर्ती दशांश स्वरूपातील सुप्रसिद्ध अपरिमेय संख्या आहे.
म्हणून योग्य उत्तर पर्याय (3) आहे.
$(a + b)^2$ चा विस्तार करताना जर $a$ व $b$ एकमेकांचे गुणाकार व्यस्त (multiplicative inverse) असतील, तर मध्यम पद $2ab$ हे नेहमी पूर्णांक बनते. वर्गमूळ चिन्ह दिसले तरी संपूर्ण राशीचे सरलीकरण करूनच अंतिम उत्तर ठरवावे.
translate
English Explanation / स्पष्टीकरण:
Explanation:
A rational number is any number that can be expressed in the form $p/q$, where $p$ and $q$ are integers and $q \neq 0$.
Let us evaluate each option:
1.
$1 + \sqrt{5}$ : Since $\sqrt{5}$ is an irrational number, $1 + \sqrt{5}$ is also irrational.
2.
$\frac{5+\sqrt{3}}{5-\sqrt{3}}$ : Rationalizing the denominator:
$$\frac{(5+\sqrt{3})^2}{5^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{25 + 10\sqrt{3} + 3}{22} = \frac{28 + 10\sqrt{3}}{22} = \frac{14 + 5\sqrt{3}}{11}$$
This contains the irrational term $\sqrt{3}$, hence it is irrational.
3.
$(\sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}})^2$ :
Expanding using $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$$(\sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}})^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2$$
$$= 2 + 2 + \frac{1}{2} = 4.5 = \frac{9}{2}$$
Since $\frac{9}{2}$ is in the form of $p/q$ where $p, q \in \mathbb{Z}$ and $q \neq 0$, it is a rational number.
4.
$\pi$ : $\pi$ has a non-terminating, non-repeating decimal expansion, so it is an irrational number.
Therefore, the correct answer is Option (3).
When expanding $(a + b)^2$, if $a$ and $b$ are reciprocal to each other ($a \cdot b = 1$), the middle term $2ab$ always simplifies to a rational integer. Always simplify algebraic expressions fully before judging rationality.
